卷积的本质及物理意义(整理).doc

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卷积这一概念可以从三个方面进行深入理解：首先，从信号的角度来看；其次，从数学家的视角（对于非专业人士而言）；再者，它还与多项式之间存在联系。在“信号与系统”这一领域中，卷积被提出是为了描述系统对输入信号的响应。由于它主要针对模拟信号进行讨论，因此往往伴随着复杂的算术推导，使得原本简单的问题往往被大量的公式所掩盖。那么，卷积的物理意义究竟是怎样的呢？卷积运算可表示为y(n)等于x(n)与h(n)的乘积，借助离散数列来阐释卷积概念更为直观。我们将y(n)的序列具体化为y(0)，y(1)，y(2)等等；这些即为系统输出的信号。同样地，x(n)在相应时间点的序列包括x(0)，x(1)，x(2)等等；实际上，即便我们没有学习过信号与系统，从常识的角度来看，系

系统的响应不仅受到当前输入的影响，还与之前多个时刻的输入密切相关。这是因为我们可以将之前时刻的输入信号视为经过某种变化（如减弱、削弱等）后对当前系统输出产生的效应。因此，在计算系统输出时，我们必须考虑当前时刻信号输入的即时响应，以及之前多个时刻信号输入所留下的累积效应。在0时刻，系统的响应值为y(0)，若此响应在1时刻保持不变，那么1时刻的响应值将变为y(0)与y(1)之和，这被称为序列的累加和，但其与序列的和并不相同。然而，在实际情况中，系统在0时刻的响应通常不会在1时刻保持不变。为了描述这种变化，我们引入响应函数h(t)，并通过它与x(0)的乘积来表示，即得到x(m)。

h(n-m)的具体表达式无需过多关注，只需记住它大致反映了这种关系。通过引入这个函数，我们可以描述y(0)在t=1时的削弱程度。削弱后的数值即为y(0)在t=1时的实际值。最后，通过累加和的计算，我们才能获得系统的真实响应。进一步来说，系统在某一特定时间点的反应，并不单纯由该时刻以及前一时刻的反应所决定。它还可能受到更早时刻，如前前时刻、前前前时刻，甚至更远时刻的影响。那么，如何限定这一影响的范围呢？这可以通过对函数h(n)在公式中变化后形成的h(n-m)中的m值所涵盖的范围进行控制来实现。说白了，这实际上指的是当前时刻的系统反应与之前若干个时刻反应所留下的“影响余波”密切相关。在考虑到这些影响因素之后，我们便能够将系统反应进行描述，而这些因素则通过一个特定的数学表达式——卷积——来进行阐述，从而得以表达。

数学的奥妙与魅力无需多言。卷积，作为一种人为设定的运算方式，其核心目的在于简化计算过程。它将两个函数的普通乘积与它们的积分变换（包括傅里叶变换和拉普拉斯变换）联系起来，使得我们只需掌握两个函数的变换方法，便可通过卷积运算求得它们乘积的变换结果。卷积在数据处理的领域内主要用于实现平滑处理，它同时具备平滑和展宽的双重效应。当我们讨论卷积积分时，必然要提及冲击函数——那个形态独特的倒置蝌蚪状图形，因为卷积正是为了这一概念而出现的。狄拉克提出“冲击函数”是为了应对某些物理现象中瞬间作用的挑战。正如古人所言：“空谈理论不如具体实例”，冲击函数这一物理现象恰好能够很好地诠释其概念。在t时间范围内对某一物体施加力F，我们可以将作用时间t设定得非常短暂，同时作用力F也相应地变得十分微弱。

体积很大，然而确保冲量Ft保持恒定。因此，在以时间t为横轴、力F为纵轴的坐标系里，这就像一个面积恒定的长方形，其底边被压缩得极窄，而高度则被拉伸得极高。在数学领域，这个长方形的高度可以无限增大，即便它变得极其细长、极其高耸，它的面积依旧保持不变（它并未消失！）。为了验证其存在，我们可以对其进行积分，因为积分本质上就是计算面积的过程。于是，“卷积”这一数学领域的奇才便应运而生。之所以称之为数学界的异类，是因为那些追求极致的数学家们对其始终难以理解，一个看似无限纤细的存在，却在积分运算中扮演着重要角色，仿佛需要将它从数学的殿堂中剔除。然而，物理学家和工程师们却对它情有独钟，因为它成功地解决了众多数学家束手无策的实际难题。最终追求完美的数学家终于想通了，数学是来源于实际的，并

最终，真正的目的是服务于现实。因此，他们特意制定了一套特定的操作规则。结果，妈呀！我们俩都感到一阵晕眩，那复杂的卷积分出现了。目前，傅立叶变换在众多应用中占据一席之地，其中之一就是它能够将卷积方程转化为两个函数相乘的形式以便求解。卷积分是积分方程家族中的关键一员。卷积运算属于积分范畴，它能够揭示线性时不变系统输入与输出之间的关联：具体来说，输出结果可以通过对输入信号与表征系统特性的函数（即冲激响应函数）进行卷积操作来获得。在此过程中，我们使用美元符号“$”来表示从负无穷大到正无穷大的积分范围。一维卷积运算中，输出y(t)等于g(k)与x(k)的乘积，即g(k)x(t-k)。具体操作是：首先将函数x(k)关于原点进行对称翻转，接着将其向右平移t个单位，随后将这两个函数相乘，并对结果进行积分，从而得到t时刻的输出值。对于每一个t值，都需要按照上述步骤进行计算。

进行计算后，便获得了输出曲线。在二维卷积运算中，表达式为h(x,y)=f(u,v)*g(u,v)，即f(u,v)g(x-u,y-v)。首先，对g(u,v)进行原点旋转180度处理，接着调整其原点位置，沿u轴向上平移x个单位，沿v轴向上平移y个单位。随后，将这两个函数相乘并积分，从而得到某一点处的输出结果。需要注意的是，图像处理中的卷积与上述定义存在细微差别。通过将模板与图像进行卷积运算，针对图像中的每一个像素点，我们将模板的中心与该点对齐开yun体育app官网网页登录入口，接着将模板中的每个元素与图像中相应位置的像素值相乘，并将这些乘积相加，从而计算出该像素点的卷积结果。对于图像中的每一个像素点，都需进行上述操作。鉴于多数模板的对称性，模板无需进行旋转。此外，一个像素点的值可以通过其周围像素值的加权平均来替代。+卷积的物理意义，解释的真幽默！

那位担任七品县令的官员，偏好以鞭笞之刑来惩治那些市井中的不良之徒，并且形成了一个惯例：若是犯下非重大罪行，便只需挨上一板子，便可获释归家，以此彰显其爱护百姓如同子女的情怀。然而，有一位无赖，渴望出人头地却似乎并无良机，心中暗想：既然无法赢得美名，那么留下恶名也好。那么，如何才能留下恶名呢？通过炒作！而炒作的方法，便是寻找名人的帮助。他自然而然地想到了自己的上司——那位县令。无赖竟在白日里，于县衙门口随意小便，结果显而易见，他自然被带到公堂上挨了一顿板子。然而，他却不以为意，昂首阔步地回家，躺了一整天。嘿！居然安然无恙！第二天，他如法炮制，全然不顾行政长官的仁慈和衙门的尊严。第三天、第四天，他每天都去县衙门领回一板子，却依然喜气洋洋，这样的行为持续了一个月。那无赖的恶名早已如同衙署门口的污秽气息，弥漫至四面八方！县令大人紧皱眉头，呆滞的目光凝视着

案几上的惊堂木紧锁双眉，陷入了沉思：这三十下板子为何不见效呢？回想起当年金榜题名时，数学成绩可是满分的佼佼者。今日，无论如何也要探究这个问题：当人（系统）遭受板子（脉冲）的打击后，会呈现出何种状态（输出）？不言而喻，自然是疼痛。然而，我所询问的是：这种疼痛会达到何种程度？这人的身板，每日遭受一顿鞭打，却毫无异样，连一声哼唧都做不到，你瞧他那洋洋得意的神态（输出0）；若是连续挨打十次，他或许会紧锁眉头，紧咬牙关，强忍不发出声音（输出1）；挨到二十次鞭打，他的面部会因疼痛而扭曲，像猪一样哼哼唧唧（输出3）；若达到三十次，他可能像驴一样发出哀嚎，涕泪横飞地哀求你放过他一马（输出5）；挨到四十次，他可能大小便失控，勉强哼唧出声。

县令将坐标纸摊开，将挨板子的数量设为X轴，而将哼哼声的强度作为Y轴，勾勒出了一条曲线。哎呀！这条曲线宛如巍峨的山峰，让人费解，真是让人想不通。为何那个顽劣之徒在连续挨了三十天重板之后，竟然一声都没吭，不求饶命呢？哈哈，你施以惩罚的间隔时间（即24小时）过于久远，导致那家伙所受的折磨每日独立计算，无法累积，始终维持一个恒定值；若将惩罚的间隔时间缩短（建议为0.5秒），他的痛苦便会迅速累积；待他挨到三十板子（时间t=30）时，他的痛苦将达到他能忍受的极限，此时将能获得最佳的惩戒效果；若继续施以更多惩罚，便无法体现出您的仁慈了。 还是不太明白，时间间隔小，为什么痛苦程度会叠加呢？ 这

人的反应与线性时不变系统对脉冲输入的激励效果相关。那么，什么是反应呢？当人挨到一个板子时，疼痛感会在一天（这是一个假设，且因个体差异而异）内逐渐减弱（即衰减），但不会瞬间消失。如此一来，若打板子的间隔极短，每次板子带来的痛感尚未来得及完全消减，便会对整体痛苦产生各自的影响：t次打击带来的痛苦总量等于（每次打击引起的痛感乘以衰减系数）的总和，衰减系数随（t-）变化而变化，其数学表述为：y(t)=T()H(t-)。将此等痛苦比作卷积运算，实乃残酷至极。人之外，是否其他事物亦遵循此规则？县令大人仁慈之心可见一斑。实际上，许多事物亦遵循此理。试想，为何铁丝仅弯曲一次不易折断，而快速弯曲多次却轻易断裂呢？

折断之后怎么办？嗯，暂时还不太明白，待本官细细思考。不过，有一点是肯定的，就是那个擅自撒尿的无赖必须被抓来，狠狠地挨上四十板子！可以这样理解：T(n)代表第n个板子，H(t-n)表示第n个板子所引发的痛苦在t时刻的累积程度，将所有板子的痛苦程度相加，即得到T(n)H(t-n)。卷积法的核心原理基于线性时不变电路的特性，如齐次性、叠加原理、时不变性以及积分特性等，通过利用电路的单位冲激响应h(t)，成为求解系统响应的有效手段。通常，系统的激励可以表示为冲击函数与激励函数的卷积形式，而卷积本质上属于高等数学中的积分范畴。建议你阅读有关定积分的相关资料。尤其需要关注的是，在概念中，冲击函数的强度是由各个矩形微小单元的面积所确定的。总体而言，卷积运算涉及利用冲击函数来代表激励函数，并依据冲击响应来进行计算。

解析系统的初始状态反应。卷积操作实际上是对信号进行过滤处理。卷积本质上等同于求和，亦即积分。在处理线性时不变系统时，输入信号可以被拆分为多个强度不一的脉冲之和（在时域中即为积分）。因此，系统的输出便是这些脉冲单独作用于系统后产生的响应之和（或积分）。因此，卷积的物理含义在于揭示了时域内输入信号、系统冲击响应以及输出信号之间的相互联系。作为一种在时域内求解线性时不变系统对任意激励产生的零状态响应的有效手段，卷积操作能够帮助我们规避直接求解繁杂的微分方程的困扰。在数学层面，卷积被定义为一种特定类型的函数乘法。对于离散序列而言，它实际上是对两个多项式进行乘积运算。物理上的含义即是冲激响应的线性组合kaiyun.ccm，其中冲激响应可视作一种函数，而另一函数则是基于冲激信号的正交分解。在实际情况中，卷积运算体现的是将一种函数通过冲激信号进行展开的过程。

信号被转移至不同的频率范围，例如通过调制过程。在数学领域，卷积被视为一种运算，用以描述两个序列或函数之间的关系；在物理学中，它可表示系统对某一物理量或输入的调整或干扰；从信号处理的角度来看，卷积揭示了线性系统对输入信号的响应模式，其结果等于系统冲击函数与信号输入的卷积。只有遵循叠加原理的系统，才具备冲击函数的概念，因此卷积成为系统在数学运算上的必然选择，冲击函数本质上就是该问题的格林函数解。以点激励源作为外部激励，求解线性问题的解时，得到的格林函数即为系统的冲击响应。因此，在线性系统中，系统冲击响应与卷积之间存在着必然的联系。然而，卷积本身仅仅是一种数学运算手段。在相关分析中，分为自相关和互相关，其中自相关指的是……

信号及其延迟后的相似性，共同反映了两个信号之间的相似度。卷积运算能够实现相关运算。那么，相关运算的实际意义究竟是什么？它与卷积运算又有何不同之处呢？探讨两个信号的相似性，这称为相关性，它可以通过卷积运算来计算，例如，g(t)与g(-t)的卷积可以看作是g(t)与自身的相关性。在卷积过程中，一个信号需要被翻转，因此g(t)*g(-t)实际上是在计算相关性。接下来，我将从数学的角度对此进行一番分析。信号处理涉及将一个信号空间转换至另一个信号空间，通常是从时域转换至频域，亦或z域、s域。信号所蕴含的能量，等同于函数的范数，即信号与函数在概念上可以视为等同。众所周知，Pascal定理指出，在映射过程中，信号的范数保持不变。在数学领域，这种保持范数的映射被称为保范映射。实际上，在信号处理领域，这种变换过程至关重要。

16、主要涉及保范映射，只要Paserval定理得以验证，则该映射即为保范映射，即能量保持不变的映射。此前的论述表明，信号处理的核心在于寻找与信号集合相对应的另一集合，并在该集合中进行分析。例如，Fourier变换便是其中一种方法，它将时域中的每个信号函数与频域中的每个频谱函数建立了一一对应的关系，实现了元素间的对应。运算间的这种对应关系，在时域表现为加法与频域加法的对应，这正是傅里叶变换线性特性的体现；至于时域中的乘法，它对应的是什么呢？最终得到的那一表达式，我们称之为卷积，它就是与频域中的卷积相对应的。简言之，卷积描述了一种重叠现象，即所得结果揭示了两个卷积函数重叠区域的特征。因此，通过将一个特定频率范围的函数与另一个频率范围较广的函数进行卷积运算，也就是对

后者经过滤波处理，只有与前者重叠的频段才能有效通过该滤波器。在时域中，乘法运算可以通过乘法器实现，而频域的乘法则可以通过时域中的卷积操作来完成。卷积实际上是一种积分运算，其目的是计算两条曲线重叠部分的面积。它可以被视为加权求和的一种形式，并广泛应用于噪声消除和特征增强。卷积，在我看来，宛如一把精细的锉刀，其主要功能在于将那些不够平滑的函数或算子变得平滑。此外，卷积本质上是一种线性运算，在图像处理领域，我们常见的mask运算实际上就是卷积，它在图像滤波方面有着广泛的应用。而在卷积关系中，最为关键的一种情形，便是信号与线性系统或数字信号处理中的卷积定理。借助该定理，我们能够将时间或空间域内的卷积操作转化为频率域内的乘法运算，进而通过FFT等高效算法，达成高效计算，减少计算成本。这种方式在卷积处理中，表现尤为显著。

运算本身具有这一特性，然而当这一运算被应用于信号处理领域，尤其是信号经过一个线性系统时，所产生的输出信号便成为了输入信号与系统冲击响应的卷积结果。这种卷积运算，作为一种线性运算，是在信号处理与线性系统理论的基础上发展而来的。自相关揭示了信号在某一特定时刻的即时数值与另一不同时刻的即时数值之间的相互联系，它是对随机信号在时域内的一种描述，类似于对卷积概念的通俗解释。然而，尽管我撰写了那般“精彩”的数学科普文章，却鲜有人问津，反而那些非数学专业人士撰写的数学内容更受欢迎，这真是令人惋惜。难道是我的数学造诣过高，还是大家的数学鉴赏能力不足？抑或是我的文章过于专业化？这次，我要尝试一些不那么专业的表达。唐老师通过输液的过程来阐述卷积的概念，这样的讲解颇具趣味，也便于大家理解。相较之下，老邪的讲解方式更为简洁明了。然而，老邪的讲解虽然能解释卷积的定义，却未能阐明为何需要定义卷积。

若我的记忆无误，卷积这一概念起源于信号系统理论，随后由数学家们进一步拓展，其影响力已远超最初设计者的预期。那么，我们不妨先探究一下在信号处理领域，卷积是如何产生的。若B构成一个系统，那么在t时刻，其接收的输入信号为x(t)，并产生输出信号y(t)，而该系统的响应特性由h(t)来描述。理论上，输出y(t)应当等于输入x(t)与响应函数h(t)的乘积，即Y(t)=h(t)x(t)。但实际情况却有所不同，系统的输出不仅受到t时刻响应的影响，还受到t时刻之前响应的影响。尽管如此，系统存在一个衰减过程，因此t1（t）时刻的输入对输出的影响可以通常用x(t)h(t-t1)来表示。这一过程可能是离散的，也可能是连续的。因此，t时刻的输出应当是系统在t时刻之前所有时刻响应函数的累积叠加，这正是卷积的概念，其数学表达形式为。

y(s)等于x(t)与h(s-t)的积分，而在离散形式中，它转化为级数。我对信号处理的理解仅限于皮毛，若在此信口开河，还请别抓住我的小错误不放。实际上，我们知道积分变换能够将卷积运算转化为简单的乘法运算，这种变换的物理意义在于，它可以将时间域中的函数转换为频率域中的函数，而且这一转换过程是可以逆转的。经过积分变换，上述卷积转换成了Y(u)=X(u)H(u)的形式，其中Y、X、H分别对应y、x、h的积分结果。在信号处理领域，人们主要关注Y(u)，然而X(u)与H(u)的求解往往较为困难，相比之下，x(t)与h(t)的获取则相对简单（果真如此吗？）。为了确定Y(u)与y(t)之间的对应关系，进而求得Y(u)，研究者们创造了卷积这一方法。 信号处理专家们，我说的对吗？至于卷积在数学上的作用

谈及卷积，话题便变得繁复，待会儿再详述。在卷积与多项式信号处理领域，卷积运算占据着核心地位。初涉卷积时，我们通常从连续函数f(x)和g(x)的卷积入手，即f(u)g(x-u)对u的积分。当然，证明卷积的性质，如交换律和结合律等，并非难事。然而，对于卷积运算的起源，初学者往往并不十分了解。实际上，当我们从离散的角度来观察卷积，可能会更加容易理解。对于两个序列fn和gn，它们的卷积通常可以视为sx=fkgx-k卷积的一个典型示例。这实际上就是我们在初中阶段就已经学习过的多项式相乘运算。例如，对于表达式(x*x+3*x+2)(2*x+5)，其计算顺序通常是这样的：(x*x+3*x+2)(2*x+5)等于(x*x+3*x+2)乘以2*x再加上(x*x+3*x+2)乘以5，即2*x*x。

义来对坐标向量进行操作，例如，将(1, 3, 2)与(2, 5)相乘，得到的结果是2*1+3*2+1*2，即2+6+2，然后减去2*3+5*1kaiyun全站app登录入口，即6+5，再加上5，最终结果为11。或者说，(1, 3, 2)*(2, 5)等同于(2, 11, 19, 10)。若将此转换回多项式的形式，即(x*x+3*x+2)*(2*x+5)，可以得到2*x*x*x+11*x*x+19*x+10。这看起来颇为神奇，但与传统方法得到的结果完全一致。换句话说，多项式的乘法实际上等同于系数向量的卷积。实际上，仔细思考一下，这个道理其实并不复杂，卷积运算实际上是将x*x*x、x*x、x、1的系数分别求出，也就是说，它将加法和求和操作结合在一起进行。(传统的办法是先做乘法，然后在合并同类

当达到第24项时才进行加法操作，以x*x的系数为例，可以得到x*x，或者将x*x乘以5，又或者用3x乘以2x，即2乘以3乘以1减去2乘以5加5等于11。实际上，这正是向量的内积。因此，卷积运算可以被视为一系列的内积运算。既然是连续的内积运算，那么我们就可以尝试用矩阵来表示这一过程。当从行角度审视矩阵A时，我们可以发现矩阵b的每一行均代表一个内积。而矩阵A的每一行均对应序列2、3、1的位移。显而易见，在当前这一特定情境中，我们了解到卷积运算遵循着交换律和结合律，这是因为，众所周知，多项式的相乘运算同样具备这些性质。

在常规情况下，交换律和结合律同样适用于此。值得注意的是，多项式不仅构成了一个特定的线性空间，而且其基与基之间还存在着某种独特的关联。这种关联赋予了多项式空间独有的特性。在学习向量时，我们常常会以这样的例子进行说明：甲拥有三个苹果和五个橘子，而乙则拥有五个苹果和三个橘子，那么他们总共拥有多少个苹果和橘子呢？老师不断强调，橘子就是橘子，苹果就是苹果，二者绝不能混淆。因此，(3,5)加上(5,3)等于(8,8)。确实，无论橘子和苹果如何相加，都不会产生任何问题。然而，一旦涉及橘子与橘子的相乘，或者橘子与苹果的相乘，问题就变得复杂，难以简单解释清楚。比如对于复数，若仅将其定义为数对（a，b），仅从线性空间的视角审视C2，那么这样的理解无疑是过于简略的。实际上，只需添加一个

若(a,b)与(c,d)的乘积等于(ac-bd,ad+bc)，那么情形便会立刻有所转变，复变函数的内涵确实是异常丰富，这一点大家都有所了解。此外，我们不妨回顾信号处理领域的一条核心定理，即在频率域中，两个信号的乘积等同于时域或空域中信号的卷积。这一原理恰好与当前情况完全吻合。那么，这种情形背后究竟隐藏着怎样的内在联系，值得我们进一步探究。实际上，我们所谓的复杂卷积运算，在本质上不过是对简单运算的一种抽象表达。回顾中学时代的数学学习，我们不难发现其中蕴含着丰富的深奥知识（例如交换代数等）。回顾过去，我们能够发现新的知识，这句话是正确的。实际上，这个道理并不复杂。人类已经繁衍了数万年之久，然而在过去的n多年里，人们仅仅知道男女结合，才能繁衍后代。精子与卵子的发现，以及生殖机制的研究，都是近几年的事情。正如孔子所言，道德存在于人们的日常生活之中，因此，我们应当用审慎的目光审视周围的一切，包括自身，这样才能既了解事物的表象，又明白其背后的原因。